数字型谜题或算法小节(7)

一、下图是一张 10 * 10 的数字表格，表格的对角线上是一系列的重复的数字，尝试心算出表中所有的数字总和。

答案：数字总和是 1000。

 

像是这样的问题，我想很多人在直觉上就会想到——找规律，的确，只要找到规律、之后的事情就变得再简单不过了。

 

第一种方法：根据正方形的对称性来计算。

左上角和右下角数字之和为 20，平均数为10（如： 1 + 19， 2 + 18 ， 3 + 17，4 + 16 等等），也就是说表格中的数字

都换成 10 ，其总和也不不变。即数字总和为 10 * 10 *  10 = 1000 。

 

 

第二种方法：逐行或逐列来计算。

第一行的数字总和 = 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = ( 1 + 10) * 10 / 2 = 55 。

第二行的数字总和 = 55 + 10。因为第二行的每一个数字都比第一行大1。

第三行的数字总和 = 55 + 20。

依次类推…

第十行的数字总和 = 55 + 90。

所有数字总和 = 55 + ( 55 + 10 ) + ( 55 + 20 ) + ( 55 + 30 ) + … + ( 55 + 90 ) = 55 * 10 + ( 10 + 90 ) * 9 / 2 = 1000 。

 

 

由此可见，简单的数学求和公式在此却起到了巨大作用。

其求和公式原型为：

1 + 2 + 3 + … + n - 1 + n = n(n + 1)/2

 

变形，求前n个正偶数的和：

2 + 4 + 8 + … + 2n = 2(1 + 2 + … + n) = n(n + 1)

 

变形，求前n个正奇数的和：

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = (1 + 2 + 3 + … + (2n -1) + 2n ) - (2 + 4 + 6 + … + 2n) = 2n(2n + 1) / 2 - n(n + 1) = n2

 

另外一个很重要的公式：2个各个次幂之和：

20  +21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1。

 

 

 

 

 

 

二、求任意两个18 位整数的乘积、其结果末尾有多少个连续的数字0。

注意：求的是结果的末尾有多少个连续的数字0.

 

 

我们假设已经计算出两个数的乘积为 21601..800000000。

 

结果可以换种表达方式为：21601..8 * 108 

又因为10只能分解为 2 * 5，所以也可以表达为：21601..8 * (2 * 5)8   

 

所以我们可以利用如下方式来计算结果：

1、将两个乘数分解质因数(只分解 2 或5)。

2、分别计算质因数 2 和 5 的个数。

3、Min（质因数2的个数，质因数5的个数）结果即为所求。

 

 

 

 

上面说的是加法和乘法，下面说一个关于取余的。

 

三、求任意 100位的整数对7取余的结果。

 

想一想，如果我们用笔去计算该问题，我们会怎么做呢？——除法竖式。

没错，我们将用最原始的，小学生都会除法竖式来解决该问题。

 

方法描述：

先取出100位数的第一位，被7除得余数(余数可能为0)。

用余数和 100位数的第二位，组成一个两位数或一位数(因为余数可能为0)，然后被7除得余数。

依次类推，最后所得余数即为所求。

 

 

好了，好好体味一下数学的魅力吧。欢迎大家给予补充~