假设资料要由A机器传至B机器,那,由B机器用乱数决定一个key,我们称之为privatekey,这个key自始至终都只留在B机器里不送出来然後,由这个privatekey计算出另一个key,我们称之为publickey.这个publickey的特性是几乎不可能反演算出privatekey来然後将这个publickey透过网路丢给A机器.A机器将资料用这个publickey编码,这个编码过的资料一定得使用privatekey才解得开然後A机器将编码过的资料透过网路传给B,B再用privatekey将资料解码这时,如果有第三者窃听资料时,他只得到B传给A的publickey,以及A用这个publickey编码後的资料没有privatekey,第三者根本无法解码所以这个方法确实能防止第三者的窃听

　　它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。

　　RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都是两个大素数（ 大于 100 个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。

　　密钥对的产生。选择两个大素数，p 和q 。计算：

　　n = p * q

然后随机选择加密密钥e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 ) 互质。最后，利用 Euclid 算法计算解密密钥d,满足

　　e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) )

　　其中n和d也要互质。数e和 n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。

　　加密信息 m（二进制表示）时，首先把m分成等长数据块 m1 ,m2,..., mi ，块长s ，其中 <= n, s 尽可能的
大。对应的密文是：

　　ci = mi^e ( mod n ) ( a )

解密时作如下计算：

　　mi =ci^d ( mod n ) ( b )

RSA 可用于数字签名，方案是用 ( a ) 式签名， ( b )式验证。具体操作时考虑到安全性和 m信息量较大等因素，一般是先作 HASH 运算。

RSA 的安全性。 RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。

RSA的速度。 由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

RSA的选择密文攻击。 RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥
有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。 　　

RSA的公共模数攻击。 若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。 因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有
所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥

首先,找出三个数,其中p,q是两个相异的质数,r是与(p-1)(q-1)互质的数这三个数便是privatekey

接著,找出m,使得rm==1mod(p-1)(q-1)这个m一定存在,因为r与(p-1)(q-1)互质,用辗转相除法就可以得到了再来,计算n=pqm,n这两个数便是publickey编码过程是,若资料为a,将其看成是一个大整数,假设a<n如果a>=n的话,就将a表成s进位(s<=n,通常取s=2^t),则每一位数均小於n,然後分段编码接下来,计算b==a^mmodn,(0<=b<n),b就是编码後的资料解码的过程是,计算c==b^rmodpq(0<=c<pq),於是乎,解码完毕等会会证明c和a其实是相等的

如果第三者进行窃听时,他会得到几个数:m,n(=pq),b他如果要解码的话,必须想办法得到r所以,他必须先对n作质因数分解要防止他分解,最有效的方法是找两个非常的大质数p,q,使第三者作因数分解时发生困难

<定理>
若p,q是相异质数,rm==1mod(p-1)(q-1),a是任意一个正整数b==a^mmodpq,c==b^rmodpq,
则c==amodpq

证明的过程,会用到费马小定理,叙述如下:
m是任一质数,n是任一整数,则n^m==nmodm 换另一句话说,如果n和m互质,则n^(m-1)==1modm)
运用一些基本的群论的知识,就可以很容易地证出费马小定理的 ><证明>
因为rm==1mod(p-1)(q-1),所以rm=k(p-1)(q-1)+1,其中k是整数,因为在modulo中是preserve乘法的x==ymodzandu==vmodz=>xu==yvmodz),
所以,c==b^r==(a^m)^r==a^(rm)==a^(k(p-1)(q-1)+1)modpq

1.如果a不是p的倍数,也不是q的倍数时,则a^(p-1)==1modp(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1modp,a^(q-1)==1modq(费马小定理)=>a^(k(p-1)(q-1))==1mod