static class Program {
    [STAThread]
    static void Main() {
        Application.EnableVisualStyles();
        Application.SetCompatibleTextRenderingDefault(false);
        Application.Run(new Form1());
    }
}

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当然有个前提，你的Network是贯穿整个程序的，那么可以放在App中，因为其生命周期长过Form。
那如果你的周期是相对比较短暂的，那么可以在响应相应事件后Open Network，然后在某个事件后Close。
但总而言之，你需要将网络部分从界面中抽离出来形成独立的Class进行管理。

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探讨

我想写一个程序 有很多的窗体，但是有一个类，这个类里的功能是负责socket通讯的，以前的做法是在一个窗体里写socket通讯，这样很方便，但是现在想做到就算切换了窗体，始终有个类在后台负责socket通讯，这样该怎么去设计？


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同时推荐你使用Spring.NET或者轻量级的Unity，控制实例的生命周期。

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首先，类没有生存周期，有生存周期的是类的实例，

楼主的问题，最好用单件模式实现，

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Unity好一点。

下载
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ff663144.aspx

一个简单教程

http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ff660908(v=pandp.20).aspx