B-树

1 .B-树定义

B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。

定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：
⑴树中每个结点至多有m 棵子树；
⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
⑶除根结点之外的所有非终端结点至少有[m/2] 棵子树；
⑷所有的非终端结点中包含以下信息数据：

      （n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki<Ki+1，

           Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn.

           n   为关键码的个数。
⑸所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。

 如一棵四阶B-树，其深度为4.

B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。

在上图的B-树上查找关键字47的过程如下：

1）首先从更开始，根据根节点指针找到 *节点，因为 *a 节点中只有一个关键字，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。

2）顺指针找到 *c节点，该节点有两个关键字（43和 78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。

3）同样，顺指针找到 *g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。

2. 查找算法

typedef int KeyType ;
#define m 5					/*B 树的阶，暂设为5*/
typedef struct Node{
	int keynum;				/* 结点中关键码的个数，即结点的大小*/
	struct Node *parent;	/*指向双亲结点*/ 
	KeyType	key[m+1];		/*关键码向量，0 号单元未用*/ 
	struct Node *ptr[m+1];	/*子树指针向量*/ 
	Record *recptr[m+1];	/*记录指针向量*/
}NodeType;					/*B 树结点类型*/

typedef struct{
	NodeType *pt;			/*指向找到的结点*/
	int i;					/*在结点中的关键码序号，结点序号区间[1…m]*/
	int tag;				/* 1:查找成功，0:查找失败*/
}Result;					/*B 树的查找结果类型*/

Result SearchBTree(NodeType *t,KeyType kx)
{ 
	/*在m 阶B 树t 上查找关键码kx，反回(pt,i,tag)。若查找成功，则特征值tag=1，*/
	/*指针pt 所指结点中第i 个关键码等于kx；否则，特征值tag=0,等于kx 的关键码记录*/
	/*应插入在指针pt 所指结点中第i 个和第i+1 个关键码之间*/
	p=t;q=NULL;found=FALSE;i=0; /*初始化，p 指向待查结点，q 指向p 的双亲*/
	while(p&&!found)
	{	n=p->keynum;i=Search(p,kx);			/*在p-->key[1…keynum]中查找*/
		if(i>0&&p->key[i]= =kx) found=TRUE; /*找到*/
		else {q=p;p=p->ptr[i];}
	}
	if(found) return (p,i,1);				/*查找成功*/
	else return (q,i,0);					/*查找不成功，反回kx 的插入位置信息*/
}

3.B-树的插入

  B^-树的生成也是从空树起，逐个插入关键字而得。但由于B^-树结点中的关键字个数必须≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”，

如图（a） 为3阶的B^-树(图中略去F结点(即叶子结点))，假设需依次插入关键字30，26，85。

1) 首先通过查找确定插入的位置。由根*a 起进行查找，确定30应插入的在*d 节点中。由于*d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如（b）

2) 同样，通过查找确定关键字26亦应插入 *d. 由于*d节点关键字数目超过2，此时需要将 *d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在 *d 节点中，而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点 *d` 中。同时将关键字30 和指示节点 *d `的指针插入到其双亲的节点中。由于 *b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如（c）(d)

3) (e) -(g) 为插入85后;