日期:2012-05-14  浏览次数:20475 次

  前些天读了一本《选举的困境》,其中有一章,从美国的选举制度说起,介绍美国选举制度的不足,然后针对其不足,提出种种改善,然而每种改善都有其各自的问题,其中的变化很有趣。

  先说美国选举制度,美国的总统选举是一种“赢者通吃”的方式,每个州根据其人口多少,有几十或几百的“州票”,州里的人对总统候选人进行选举,在某个州获得票最多的那个候选人,获得这个州所有的“州票”,然后统计所有候选人的“州票”多少,获得最多“州票”的候选人获胜。

  这样制度的问题是显然的,比如如果只有两个州,A州5个人,而B州4个人,州票也分别是5和4,如果某候选人X在A州以3:2获胜,另一个候选人Y在B州以4:0获胜,这样显然候选人Y在全国范围内获得了6张票,而候选人X只有在A州的3张票,但是由于“赢者通吃”,X获得了A周的全部5张“州票”,Y只获得了B周的4张“州票”,在全国只有1/3民众支持的X居然获得了选举的胜利。

  这样的情况在2000年美国总统选举中就出现过,小布什的州票领先于戈尔,然而在全国民众中统计支持戈尔的人数却是大于小布什的,当然戈尔输给小布什还有另一个原因,这里按下不表。

  如果放在算法领域,可以看出这里的问题在于,为了统计结果R(最适合的总统人选),找到了一个特征A(每个民众的投票),而决定结果R的,却不是特征A,而是由特征A推导出来的特征B(州票),在特征A向特征B的推导过程中,信息丢失了(每个洲的支持百分比不一样)。

  “赢者通吃”这种制度的具体历史原因先不说,有兴趣的朋友可以去看原著。解决这种问题的最直接方案就是从“赢者通吃”变成直选,也就是一人一票,直接统计票数,然而这样也会遇到一系列问题。

  在谈那一系列问题之前,先把要解决的问题抽象一下:

  有n个候选人,每个选民对这n个候选人投票,最终在n个候选人中选出最合适、最符合民意、也符合逻辑的那个人。

  方案1:一票制,每人一票,选出自己最喜欢的候选人,对结果进行统计,得票最多的那个人当选。

  这样做的问题是会导致作者定义的一种“鹬蚌困局”,举例说,如果有ABC三个候选人,其中BC政见比较类似,支持B的人也比较支持C,反之亦然,在全民中,喜欢BC的人占多数,A的政见和BC相反,支持A的人在全民中占少数。这样导致的后果就是,BC获得的票会比较分散,而A获得的票比较集中从而获得胜利,如果BC中有1人不参加选举,票就会集中到B或者C一个人的手中,从而使多数选民的支持者当选。前面按下不表的戈尔失败的另一个原因,就是有人认为有跟戈尔政见类似的耐德的参与,他分散了部分戈尔的选票。

  可以对此问题有所改善的方案叫做“二选制”。

  方案2:二选制,每人一票,如果无人获得大于50%的支持,则将得票最高的两个候选人拿出来,再进行一轮选举,得票多的人获胜。

  法国总统选举就是这样的二选制,但是这样的方法只能改善“鹬蚌困局”,而不能彻底解决,2002年的法国总统大选就出现了类似的情况,当时支持左派政见的民众较多,然而在二选制下,最终的前两名却是一个右派和一个极右派。出现这种情况的原因是当年有16个总统候选人,且多数是持左派政见者,这样就导致左派的票极端分散。

  方案3:n选制,每人一票,如果无人获得大于50%的支持,则去掉支持最少的候选人,再进行一轮投票,若依旧无人获得大于50%的支持,再去掉得票最少的候选人,直到有人大于50%支持为止。

  2001年奥委会决定北京为2008年奥运会主办城市的时候,就是用的这样的制度,在第一轮投票里大阪被淘汰,北京在第二轮就获得了半数以上的支持,从而当选。

  n选制的问题在于不实用,如果是奥委会这种只有几百个人投票的情况还可以使用,如果类似前面法国总统选举,有16个候选人,举国上下最多可能进行15次投票,成本太高。

  方案4:即刻复选制,每个民众对候选人进行排序,如果某个候选人获得了50%以上的首选,则直接获得胜利,否则淘汰票数最低的候选人,并且把票数最低候选人的得票中的第二候选人拿出来,分给对应的候选人,如果有人获得50%以上,则当选,否则再淘汰一位最低的,并且把他票分给里面排序最高的且未被淘汰的候选人,如此往复。

  爱尔兰总统选举和伦敦市长选举采用的是类似的方案,此方案也有问题,试想如此场景:选民共10人,中间派候选人是3人的首选,左派和右派的候选人分别是4人的首选,当然左派选民最讨厌右派候选人,而右派选民也最讨厌左派候选人,而左派右派的民众对中间派候选人倒是都可以接受,不管是即可复选制还是n选制,中间派候选人都会在第一轮被淘汰。而中间派候选人则是全体民众都可以接受的人,也最能调和各派之间矛盾,最和谐。

  这个方案的本质问题是,虽然每个选民可以对候选人排序,但是在第一轮的时候却只考虑了第一选,没有考虑选民的二、三选。

  方案5:上行复选制,跟方案4类似,只不过第一轮淘汰的不是支持最少,而是反对最多的候选人(获得最多末选票的候选人)

  再看上面提到的情况,中间派候选人由于不是任何人的末选,所以第一轮淘汰的是左派或者右派,再第二轮选举中,中间派的候选人就可以获胜了。

  方案5也有方案5的问题,考虑这样一种情况,只有两个候选人AB参选,选民9人,其中6人喜欢A而讨厌B,3人喜欢B而讨厌A,无论按照之前的哪种方式,都会是A获胜。但是现在又多了两个候选人C和D,喜欢B的3人中,都是把A列在最后一个候选的,而喜欢A的6人的末选,却是BCD各2票,这样,在第一轮选举中,A就由于获得了最多的末选票被淘汰了,而通过精心的构造例子,完全可以使B最终当选。仅仅由于CD参选或者不参选,A和B之间的胜负关系就发生了大逆转。

  实际使用此方案的例子不多,只有在公元前507年的雅典有类似的方案,不是让民众投支持票,而是投反对票,把反对最多的人投出局。

  方案6:多赛制,民众对候选人排序,然后候选人之间两两pk,统计每一张选票上看候选人A在候选人B前面还是B在A前面,如此找到获胜场次最多的候选人来赢得选举。

  这样的问题是可能导致循环胜负,如ABC三个候选人,有3个民众,投票分别是ABC,BCA,CAB,可以看出AB之间A获胜两次,A>B;BC之间B获胜两次,B>C,AC之间C获胜两次,C>A,这样就构成了一个A>B>C的循环。这个是不是有点像足球联赛的记分制啊,如果积分相同,足球比赛中可以再看净胜球、进球、胜负关系等,但是作者并没有在这个方面进行展开,而是介绍了另一种方式:博达制。

  方案7:博达制,民众对候选人排序,假如有n个候选人,第一位的候选人得n分,第二位得n-1分,以此类推,然后统计每个候选人的总分,获得最多分的获胜。

  有人对博达制的批评是:可能有选民会利用这种方式进行作弊(投“策略票”),最支持B的候选人本来心目中的排序是B>A>C,但是由于相对A,他们还是更喜欢B,因此,为了把B拉上来,就得把A拉下去,他们的投票就变成了B>C>A。博达对此批评的回应是:我的制度只适用于诚实的投票者。

  而这本书的作者却认为博达制的“策略票”问题没那么严重,如果无法准确预测民意和精确控制策略票的投法,有可能因为用力过猛,不但把A拉下来了,反而让C获得的支持票增加,这样就使得最支持B的那些人的“策略票”反而使得他们最讨厌的C当选了,当年在IMDB上就发生过类似一幕:

  电影《蝙蝠侠6》上映后,蝙蝠侠的粉丝们觉得这部片太酷了,于是就想把蝙蝠侠6投成IMDB第一位,于是他们疯狂的给蝙蝠侠6打高分,而同时,也纷纷的给当时的IMDB第一《教父》投低分,导致的结果就是用力过猛,教父变成了第三名,原来的第二肖申克的救赎(TSR)变成了第二(原来的第二是排在教父后面,新的第二是排在蝙蝠侠6后面),而后来,随着疯狂粉丝的热情消退,理性的意见占据了上风,蝙蝠侠6的得分逐渐下降,跌到了第10。而教父还是在肖申克的救赎后面,很久没有回去了。

  博达制是否有其他问题呢?

  以上只是对这本书第14章的一个笔记,也仅仅针对“多候选人单职位”问题进行了讨论,书的后面还会对“多候选人多职位”的情况继续探讨,也就是根据每个人对候选人的排序,来决定最终的候选人排序。

  回到搜索引擎领域来,如上策略的变迁会给我们一些